που γράφτηκε από τον Luca Pacioli και εικονογραφήθηκε από τον Leonardo da Vinci. Τυπώθηκε το 1509.
Λόγος στα μαθηματικά είναι μια τιμή που υποδηλώνει τη σχέση δύο ποσοτήτων μεταξύ τους. α/β=x
Παράδειγμα για α=6 και β=3: 6/3 = 2
Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο λόγων. α/β = γ/δ= x
Παράδειγμα οι λόγοι 6/3 και 4/2 αποτελούν αναλογία αφού: 6/3 = 4/2 = 2
Αναλογία είναι επίσης η σύγκριση της μιας ποσότητας με το σύνολο των δυο ποσοτήτων.
x=α/α+β και y=β/α+β που εκφράζεται επίσης α/α+β=X% και β/α+β=Y%
Παράδειγμα για α=6 και β=2: x=6/(6+2)=6/8=3/4 και y=2/(6+2)=2/8=1/4
που εκφράζεται επίσης x=3/4=75% και y=1/4=25%
Χρυσός Λόγος
Χρυσός λόγος μεταξύ δύο ποσοτήτων α > β υπάρχει αν το άθροισμά τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα ισούται με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Αν δηλαδή ισχύει: (α+β) / α = α / β = φ (όπου φ είναι ο χρυσός λόγος).
Για α = 1 τότε β = √5 / 2. Οπότε η τιμή του φ είναι: φ=(1+√5)/2=1,618… (άπειρα δεκαδικά, άρρητος αριθμός)
Ο χρυσός λόγος αναφέρεται και ως Χρυσός Κανόνας και Θεϊκή Αναλογία ενώ από την εφαρμογή του στη διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται επίσης Χρυσή Τομή ή Άκρος και Μέσος Λόγος.
O αντίστροφος του λόγου αναφέρεται και ως Συζυγής της χρυσής τομής και συμβολίζεται με το κεφαλαίο Φ:
Φ = 1 / φ = 0,618… Όμως το Φ μπορεί να εκφραστεί και ως Φ = φ – 1 = 1,618… -1 = 0,618…
Αυτό καταδεικνύει την μοναδική ιδιότητα της χρυσής τομής ανάμεσα στους θετικούς αριθμούς, 1/φ = φ–1 αλλά επίσης: 1/Φ = Φ+1
Αριθμητική Αναλογία
Εάν μεταξύ τριών δοθέντων αριθμών α>β>γ ισχύει η ισότητα των διαφορών α − β = β − γ λέμε ότι δομείται μια Αριθμητική Αναλογία.
Ο μεσαίος αριθμός β ονομάζεται αριθμητικός μέσος και εκφράζεται συναρτήσει των δύο άκρων αριθμών ως β = α+γ / 2
Η Αριθμητική αναλογία ονομάζεται και αναλογία κατά ποσότητα, διότι σε αυτήν δεν ισχύει ισότητα λόγων μεταξύ των όρων της αλλά ισότητα των διαφορών τους.
Γεωμετρική Αναλογία
Εάν μεταξύ τριών δοθέντων αριθμών α>β>γ ισχύει η ισότητα των λόγων α/β=β/γ λέμε ότι δομείται μια Γεωμετρική Αναλογία.
Ο μεσαίος αριθμός β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος και εκφράζεται συναρτήσει των δύο άκρων αριθμών ως β = √α · γ
Παράδειγμα γεωμετρικής αναλογίας αποτελεί η τριάδα των αριθμών 4, 2, 1, διότι 4 / 2 = 2 / 1 και 2 = √1 · 4
Αρμονική Αναλογία
Εάν μεταξύ τριών δοθέντων αριθμών α > β > γ, ο μέγιστος προς τον ελάχιστο όρο έχει λόγο ίσο με το λόγο της διαφοράς του μέσου από τον μέγιστο προς τη διαφορά του ελάχιστου από τον μέσο (α – β / β – γ = α / γ), λέμε ότι δομείται μια Αρμονική Αναλογία.
Ο μεσαίος αριθμός β ονομάζεται αρμονικός μέσος και εκφράζεται συναρτήσει των δύο άκρων αριθμών ως β= 2 α · γ / α + γ
Παράδειγμα αρμονικής αναλογίας αποτελεί η τριάδα των αριθμών 6, 4, 3, διότι 6 / 3 = 6 – 4 / 4 – 3 = 2 / 1
